Voici une preuve qu’on dit être une one-sentence proof [1] de l’irrationalité du nombre \(\sqrt{2}\), différente (et je crois moins connue) de celle plus couramment rencontrée. Comme l’autre, c’est une preuve par l’absurde.
Supposons que le nombre \(\sqrt{2}\) soit rationnel et qu’il soit égal à \[\sqrt{2} =\frac{m}{n}\]avec \(m\) et \(n\) premiers entre eux (c’est-à-dire que la fraction est réduite), alors on a aussi que \[\sqrt{2} = \frac{2n-m}{m-n}\]et on trouve là la contradiction souhaitée : une fraction en plus petits termes !
Bien sûr, cette « preuve en une phrase » nécessite qu’on éclaircisse quelques détails. Il faut principalement vérifier que la deuxième fraction est bien égale à la première. Et il faut aussi vérifier que le dénominateur de la deuxième fraction est positif et plus petit que \(n\), le dénominateur de la première fraction. Soit. Puisque \[1<\sqrt{2}=\frac{m}{n}<2\]et que \(n\) est positif, on a en multipliant par \(n\) \[n < m < 2n\]et puis en soustrayant \(n\) \[0<m-n<n\]Du coup on trouve que le dénominateur de la deuxième fraction est à la fois positif et plus petit que le dénominateur de la première fraction. En partant de \[\sqrt{2} = \frac{m}{n}\]on trouve de manière équivalente \[\sqrt{2}\cdot n = m\](on remarque au passage, avec \(m\) et \(n\) premiers entre eux, que \(n\) est le plus petit entier qui puisse rendre le membre de gauche entier). En élevant au carré, on a \[2n^{2}=m^{2}\]En soustrayant \(nm\) de chaque côté \[2n^{2}-mn = m^{2}-mn\](pas de problème encore une fois puisque \[n<m<2n\]implique \[mn<2n^{2}\]en multipliant par \(n\) et \[mn<m^{2}\]en multipliant par \(m\), les deux côtés de l’équation restent donc positifs) et en effectuant une mise en évidence de chaque côté \[n(2n-m) = m(m-n)\]on obtient le résultat demandé\[\frac{2n-m}{m-n}=\frac{m}{n}=\sqrt{2}\]et, du même coup, la contradiction. Il aurait été possible d’emprunter une démarche similaire avec comme point de départ \[\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=1\]
Dans son article, Bloom [1] mentionne que cette preuve a été présentée sous une forme légèrement différente par Ivan Niven en 1985. Il ajoute aussi que cet argument peut être modifié sans grande difficulté pour traiter un nombre \(\sqrt{k}\) quelconque où \(k\) n’est pas un nombre carré. En effet, avec \(j\) l’unique entier tel que \[j<\sqrt{k}<j+1\]si on pose \[\sqrt{k} =\frac{m}{n}\]avec \(m\) et \(n\) premiers entre eux, on trouvera aussi \[\sqrt{k} = \frac{kn-jm}{m-jn}\]une fraction en plus petits termes.
[1] David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine Oct. 1995
L’angle aigu \(\theta\) de ce triangle rectangle nous permet d’exprimer la longueur de la cathète adjacente à l’angle avec le cosinus. On trace ensuite un autre diamètre tel que
Lorsque deux cordes se coupent dans un cercle, le produit des mesures des segments de l’une égale le produit des mesures des segments de l’autre. On a donc \[\left(2a\cos(\theta)-b\right)(b) = (a +c)(a-c)\]En développant, on obtient \[2ab\cos(\theta)-b^{2} = a^{2}-c^{2}\]ce qui donne… (roulement de tambour…)\[c^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta)\]la loi des cosinus (pour des angles aigus) !
