Monsieur C, mon éminent collègue (et futur précieux collaborateur de ce blogue, je l’espère) me rappelle de faire un petit tour sur www.ted.com afin d’y voir cette vidéo :
L’astroïde
L’astroïde est la trace du point \(P\) d’un cercle de rayon \(\dfrac{R}{4}\) qui roule sans glisser à l’intérieur d’un cercle de rayon \(R\).
Sur la figure : le grand cercle rayon \(OB\), de centre \(O\), le petit cercle rayon \(AP\), de centre \(A\), avec \[m\overline{AP} = \frac{1}{4}m\overline{OB}\]qui roule sans glisser à l’intérieur du grand cercle. On considère la trace du point \(P\). On remarque que le centre \(A\) du petit cercle décriera une trajectoire telle qu’un cercle de rayon \[r = \frac{3}{4}m\overline{OB}\]et de centre \(O\) (en pointillé sur la figure). Le point \(E\) est le point de tangence entre les petit et grand cercles.
L’angle \(\alpha\) est l’angle que forme le centre \(A\) du petit cercle, le centre \(O\) du grand cercle et l’axe des abscisses (en vert sur la figure, l’angle \(AOB\), calculé dans le sens habituel, anti-horaire). En traçant la droite \(AD\) parallèle à l’axe, on obtient des angles correspondants isométriques. L’angle \(EAD\) a donc lui aussi pour mesure \(\alpha\). En posant \[\varphi = m\angle DAP\]calculé dans le sens horaire, on obtient \[m\angle EAP = \alpha + \varphi\]Enfin, avec \[m\overline{OB} = R\]on peut trouver les coordonnées du point \(A\) \[\left(\frac{3}{4}R\cos(\alpha), \ \frac{3}{4}R\sin(\alpha)\right)\]et celles de \(P\) \[\left(\frac{3}{4}R\cos(\alpha) + \frac{1}{4}\cos(\varphi), \ \frac{3}{4}R\sin(\alpha)-\frac{1}{4}R\sin(\varphi)\right)\]ou en effectuant la mise en évidence : \[\left(\frac{R}{4}\left(3\cos(\alpha)+\cos(\varphi)\right), \ \frac{R}{4}\left(3\sin(\alpha)-\sin(\varphi)\right)\right)\](Remarquez que, les angles étant orientés, \(\alpha\) dans le sens anti-horaire et \(\varphi\) dans le sens horaire, on additionne \(\frac{R}{4}\cos(\varphi)\) à l’abscisse et on soustrait \(\frac{R}{4}\sin(\varphi)\) à l’ordonnée.)
Comme le cercle roule sans glisser, on trouve aussi que les mesures des arcs \(EB\) et \(EDP\) sont égales. On a \[m\overset{\large\frown}{EDP} = \frac{R}{4}\left(\alpha + \varphi\right)\]et \[m\overset{\large\frown}{EB} = R\alpha\]Cela nous permet d’écrire \[\frac{R}{4}\left(\alpha + \varphi\right)= R\alpha\]ce qui fait \[\alpha + \varphi = 4\alpha\]et donc \[\varphi = 3\alpha\]Il nous est donc possible de réécrire l’expression pour les abscisses \[x = \frac{R}{4}\left(3\cos(\alpha)+\cos(\varphi)\right)\]et les ordonnées\[y=\frac{R}{4}\left(3\sin(\alpha)-\sin(\varphi)\right)\]du point point \(P\) de l’astroïde en fonction de l’angle \(\alpha\) seulement. On obtient \[x = \frac{R}{4}\left(3\cos(\alpha)+\cos(3\alpha)\right)\]et \[y = \frac{R}{4}\left(3\sin(\alpha)-\sin(3\alpha)\right)\]Or, comme \[\cos(3x)=4\cos^{3}(x)-3\cos(x)\]et \[\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^{3}(x)\]on peut substituer les expressions \(\cos(3\alpha)\) et \(\sin(3\alpha)\) dans les équations précédentes. On obtient pour les abscisses \[x = \frac{R}{4}\left(3\cos(\alpha)+4\cos^{3}(\alpha)-3\cos(\alpha)\right)\]ce qui se simplifie d’abord à\[x = \frac{R}{4}\left(4\cos^{3}(\alpha)\right)\]puis à\[x = R\cos^{3}(\alpha)\]On obtient pour les ordonnées \[y = \frac{R}{4}\left(3\sin(\alpha)-\left(3\sin(\alpha)-4\sin^{3}(\alpha)\right)\right)\]ce qui fait d’abord\[y = \frac{R}{4}\left(3\sin(\alpha)-3\sin(\alpha)+4\sin^{4}(\alpha)\right)\]puis \[y = \frac{R}{4}\left(4\sin^{3}(\alpha)\right)\]et enfin tout simplement \[y = R\sin^{3}(\alpha)\]Les équations \[x=R\cos^{3}(\alpha)\]et \[y = R\sin^{3}(\alpha)\]sont les équations paramétriques de l’astroïde. On peut trouver la forme cartésienne générale comme suit. Dans l’équation des abscisses, on divise les deux côtés par \(R\) \[\frac{x}{R} = \cos^{3}(\alpha)\]puis on prend la racine cubique \[\sqrt[3]{\frac{x}{R}} = \cos(\alpha)\]que l’on peut aussi écrire \[\frac{x^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}=\cos(\alpha)\]On élève au carré \[\left(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}\right)^{2} = \cos^{2}(\alpha)\]ce qui fait\[\frac{x^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}}=\cos^{2}(\alpha)\]On procède ensuite avec les ordonnées, en divisant par \(R\) \[\frac{y}{R} = \sin^{3}(\alpha)\]puis en prenant la racine cubique \[\sqrt[3]{\frac{y}{R}}=\sin(\alpha)\]ce qui fait \[\frac{y^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}=\sin(\alpha)\]On élève au carré \[\left(\frac{y^{\frac{1}{3}}}{R^{\frac{1}{3}}}\right)^{2}=\sin^{2}(\alpha)\]que l’on peut aussi réécrire comme\[\frac{y^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}} = \sin^{2}(\alpha)\]Il suffit enfin de ressortir notre bonne vieille identité trigonométrique \[\cos^{2}(\alpha)+\sin^{2}(\alpha)=1\]et de judicieusement remplacer \(\cos^{2}(\alpha)\) et \(\sin^{2}(\alpha)\) et obtenir \[\frac{x^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}}+\frac{y^{\frac{2}{3}}}{R^{\frac{2}{3}}}=1\]En multipliant chaque terme par \(R^{\frac{2}{3}}\), on obtient l’équation cartésienne générale \[x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=R^{\frac{2}{3}}\]dont voici la représentation graphique
La trisectrice de Ceva
La trisection de l’angle est un problème classique de géométrie. On sait aujourd’hui que la trisection ne peut être réalisée à la règle (non-marquée) et au compas. Par contre, la trisection peut être réalisée avec d’autres instruments, quelques mécanismes produisant des courbes (que l’on appelle, vous l’aurez deviné, des courbes trisectrices !) Le mathématicien grec Nicomède (env. -280 – env. -210) en a découvert une, la conchoïde qui porte son nom, et qui permet de réaliser la trisection d’un angle. La conchoïde de Nicomède est probablement la plus connue des courbes trisectrices. En voici une autre…
La trisectrice de Ceva
On construit la trisectrice de Ceva de telle manière. On considère le cercle de centre \(A\) et de rayon \(\overline{AQ}\). On considère aussi la droite \(AC\). La trisectrice est le lieu du point \(P\), en déplaçant \(Q\) sur le cercle, tels que \(A\), \(Q\) et \(P\) soient colinéaires (alignés sur une même droite), que \(B\) soit sur \(AC\) et que \[m\overline{AQ} = m\overline{BQ} = m\overline{PQ}\]Voyons d’abord pourquoi cette courbe porte le nom de trisectrice. Appelons \(\alpha\) la mesure de l’angle \(QAB\). Comme le triangle \(AQB\) est isocèle, la mesure de l’angle \(ABQ\) est aussi \(\alpha\) puisque les angles opposés aux côtés isométriques dans les triangles isocèles sont isométriques. Comme la somme des angles intérieurs d’un triangle est toujours \(180^{\circ}\), la mesure de l’angle \(AQB\) est \(180^{\circ}-2\alpha\). La mesure de l’angle \(PQB\) est de \(2\alpha\) puisque ces deux angles sont adjacents supplémentaires. Le triangle \(QBP\) étant à son tour isocèle, on trouve que la mesure de l’angle \(BPQ\) est donc elle aussi de \(2\alpha\). On trouve, dans le triangle \(BPQ\), \[m\angle PBQ + 2\alpha + 2\alpha = 180^{\circ}\]Ce que l’on peut réécrire de la façon suivante \[m\angle PBQ = 180^{\circ}-4\alpha\]Les angles \(PBQ\), \(ABQ\) et \(PBC\) étant adjacents supplémentaires, on peut aussi écrire\[\alpha + m\angle PBQ + m\angle PBC = 180^{\circ}\]En substituant la mesure de l’angle \(PBQ\) on obtient \[\alpha + 180^{\circ}-4\alpha + m\angle PBC = 180^{\circ}\]ce qui fait, bien entendu, \[m\angle PBC = 3\alpha\]
Les équations paramétriques
Trouvons maintenant les équations paramétriques de la courbe. Plaçons \(A\) à l’origine du plan cartésien. Plaçons \(C\) sur l’axe des abscisses. Posons enfin \[m\overline{AQ} = a\]Les coordonnées de \(Q\) sont \[\left(a\cos\left(\alpha\right), \, a\sin\left(\alpha\right)\right)\]celles de \(B\) sont\[\left(2\alpha\cos\left(\alpha\right),\, 0\right)\]et donc celles de \(P\) sont \[\left(2a\cos\left(\alpha\right)+a\cos\left(3\alpha\right), \, a\sin\left(3\alpha\right)\right)\]
Mais sachant que \[\cos\left(3\alpha\right)=4\cos^{3}\left(\alpha\right)-3\cos\left(\alpha\right)\]On peut réécrire l’abscisse de \(P\) \[x = 2a\cos\left(\alpha\right)+a\cos\left(3\alpha\right)\]comme \[x = 2a\cos\left(\alpha\right) + a\left(4\cos^{3}\left(\alpha\right)-3\cos\left(\alpha\right)\right)\]ce qui fait d’abord \[x=2a\cos\left(\alpha\right)+4a\cos^{3}\left(\alpha\right)-3a\cos\left(\alpha\right)\]puis ensuite \[x = 4a\cos^{3}\left(\alpha\right)-a\cos\left(\alpha\right)\]et enfin \[x = a\left(4\cos^{3}\left(\alpha\right)-\cos\left(\alpha\right)\right)\]Sachant aussi que \[\sin\left(3\alpha\right)= 3\sin\left(\alpha\right)-4\sin^{3}\left(\alpha\right)\]On peut réécrire l’ordonnée de \(P\) \[y = a\sin\left(3\alpha\right)\]comme \[y = a\left(3\sin\left(\alpha\right)-4\sin^{3}\left(\alpha\right)\right)\]En posant \[a = 1\]on obtient les équations \[x = 4\cos^{3}\left(\alpha\right)-\cos\left(\alpha\right), \quad y = 3\sin\left(\alpha\right)-4\sin^{3}\left(\alpha\right)\]dont voici la représentation graphique
Et avec les coordonnées polaires…
Pour les coordonnées polaires, elles peuvent prendre différentes formes. En posant \[m\overline{AP}= r\]et en considérant le triangle rectangle d’hypoténuse \(\overline{AP}\), on trouve l’une de ces formes avec \[\cos\left(\alpha\right) = \frac{a\left(4\cos\left(\alpha\right)-\cos\left(\alpha\right)\right)}{r}\](nul autre que le cosinus, rapport du côté opposé et de l’hypoténuse dans le triangle rectangle). Cela fait, en isolant \(r\), \[r = \frac{a\left(4\cos^{3}\left(\alpha\right)-\cos\left(\alpha\right)\right)}{\cos\left(\alpha\right)}\]et en simplifiant, \[r = a\left(4\cos^{2}\left(\alpha\right)-1\right)\]Voilà !