Plus d’une preuve dans son sac…

Voici une preuve qu’on dit être une one-sentence proof [1] de l’irrationalité du nombre \(\sqrt{2}\), différente (et je crois moins connue) de celle plus couramment rencontrée. Comme l’autre, c’est une preuve par l’absurde.

Supposons que le nombre \(\sqrt{2}\) soit rationnel et qu’il soit égal à \[\sqrt{2} =\frac{m}{n}\]avec \(m\) et \(n\) premiers entre eux (c’est-à-dire que la fraction est réduite), alors on a aussi que \[\sqrt{2} = \frac{2n-m}{m-n}\]et on trouve là la contradiction souhaitée : une fraction en plus petits termes !

Bien sûr, cette « preuve en une phrase » nécessite qu’on éclaircisse quelques détails. Il faut principalement vérifier que la deuxième fraction est bien égale à la première. Et il faut aussi vérifier que le dénominateur de la deuxième fraction est positif et plus petit que \(n\), le dénominateur de la première fraction. Soit. Puisque \[1<\sqrt{2}=\frac{m}{n}<2\]et que \(n\) est positif, on a en multipliant par \(n\) \[n < m < 2n\]et puis en soustrayant \(n\) \[0<m-n<n\]Du coup on trouve que le dénominateur de la deuxième fraction est à la fois positif et plus petit que le dénominateur de la première fraction. En partant de \[\sqrt{2} = \frac{m}{n}\]on trouve de manière équivalente \[\sqrt{2}\cdot n = m\](on remarque au passage, avec \(m\) et \(n\) premiers entre eux, que \(n\) est le plus petit entier qui puisse rendre le membre de gauche entier).  En élevant au carré, on a \[2n^{2}=m^{2}\]En soustrayant \(nm\) de chaque côté \[2n^{2}-mn = m^{2}-mn\](pas de problème encore une fois puisque \[n<m<2n\]implique \[mn<2n^{2}\]en multipliant par \(n\) et \[mn<m^{2}\]en multipliant par \(m\), les deux côtés de l’équation restent donc positifs) et en effectuant une mise en évidence de chaque côté \[n(2n-m) = m(m-n)\]on obtient le résultat demandé\[\frac{2n-m}{m-n}=\frac{m}{n}=\sqrt{2}\]et, du même coup, la contradiction.  Il aurait été possible d’emprunter une démarche similaire avec comme point de départ \[\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=1\]

Dans son article, Bloom [1] mentionne que cette preuve a été présentée sous une forme légèrement différente par Ivan Niven en 1985. Il ajoute aussi que cet argument peut être modifié sans grande difficulté pour traiter un nombre \(\sqrt{k}\) quelconque où \(k\) n’est pas un nombre carré. En effet, avec \(j\) l’unique entier tel que \[j<\sqrt{k}<j+1\]si on pose \[\sqrt{k} =\frac{m}{n}\]avec \(m\) et \(n\) premiers entre eux, on trouvera aussi \[\sqrt{k} = \frac{kn-jm}{m-jn}\]une fraction en plus petits termes.

[1] David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine Oct. 1995

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