Utinam Frater superstes esset !

En 1672, Gottfried Wilhem Leibniz est un diplomate allemand en poste à Paris et l’atmosphère intellectuelle de l’époque lui sied bien.  C’est à ce moment qu’il admettrait lui-même qu’il estime sa formation mathématique déficiente, formation qui se résume à l’étude des oeuvres classiques.  Par chance, il rencontre à Paris le Danois Christiaan Huygens, dont la liste des réalisations mathématiques et scientifiques est déjà longue.  Huygens, pas exactement à titre de professeur mais plutôt à titre de mentor, guide le jeune Leibniz dans ses découvertes mathématiques.  Huygens lui soumet ce problème : “Quelle est la somme des inverses des nombres triangulaires ?”  En d’autres mots, il lui faut déterminer la valeur de S dans

et où les nombres triangulaires sont les nombres de la forme

Les premiers nombres triangulaires (wikipedia).

Leibniz commence par multiplier la somme par 1/2 et obtient

Il remplace ensuite 1/2 par 1 – 1/2, 1/6 par 1/2 – 1/3, 1/12 par 1/3 – 1/4 et ainsi de suite.

Il lui suffit ensuite de se débarrasser des parenthèses afin d’obtenir

et de simplifier toutes les fractions deux à deux

ce qui lui donne en multipliant par 2

la solution au problème de Huygens.  Ce résultat, bien que peu convaincant de par les standards actuels, laisse néanmoins présager chez Leibniz une extraordinaire perspicacité mathématique.  Lorsqu’il quitte Paris en 1676 (seulement quatre ans plus tard!) il a déjà ébauché les principes fondamentaux du calcul différentiel et intégral.

Saut dans le temps de deux décennies : entrent en scène les colorés frères Jakub et Johann Bernoulli, mathématiciens doués et fidèles successeurs de Leibniz.  En 1689, Jakub publie son Tractatus de seriebus infinitus, traité sur les séries infinies comportant, entre autres, la preuve de la divergence de la série harmonique de son frère Johann (les preuves de Nicole Oresme et du mathématicien italien Pietro Mengoli leur étant vraisemblablement inconnues).  C’est dans ce traité que Jakub s’attaque à la somme des inverses des carrés.  Il remarque que 1/4 < 1/3, que 1/9 < 1/6, que 1/16 < 1/10 et qu’en général pour k > 1,

Il s’applique donc à écrire

Avec sa règle de comparaison, Jakub trouve que la séries des inverses des carrés converge vers un nombre plus petit que 2.  Cependant, malgré tout leur brio, et surtout malgré toute leur arrogance et leur orgueil, les Bernoulli sont incapables de trouver la valeur exacte de cette somme.  Depuis sa ville natale, Bâle, en Suisse, Jakub écrit à toute l’intelligentsia européenne et demande de l’aide là où il a échoué.  Pour que l’appel du “problème de Bâle” trouve écho, il faut attendre 45 ans et un talent mathématique inégalé, élève de Johann Bernouilli lui-même : l’incomparable Leonhard Euler.  C’est en 1734 qu’il détermine (pour une première fois) la valeur de cette somme et il s’agit de l’un de ses premiers triomphes qui cautionne son statut de génie mathématique à travers toute l’Europe.

Euler utilise dans sa preuve deux résultats préliminaires.  Le premier résultat est la série de Taylor de la fonction sinus

Le deuxième concerne l’écriture d’un polynôme (fini) sous sa forme factorisée.  On considère un polynôme p de degré n possédant n racineset pour lequel on aIl est alors possible d’écrire le polynôme p sous cette forme

En substituant x par les valeurs 0, a₀, a₁, a₂, …, a_n, il est facile de voir que d’une part

et d’autre part

Euler considère la fonction

Pour lui, il ne s’agit que d’un polynôme infini et pour lequel

Pour

il réécrit le polynôme comme

l’expression au numérateur étant la série de Taylor de la fonction sinus.  Il réécrit donc le tout comme

toujours avec

Il s’intéresse ensuite aux racines de la fonction

ce qui revient à résoudre en multipliant par x de chaque côté

On sait que les racines de la fonction sinus sont

et donc avec la restriction sur le domaine, les racines de la fonction f sont

Euler, avec, d’une part, l’extraordinaire clairvoyance qu’on lui connait et, d’autre part, la rigueur beaucoup plus souple de l’époque, étend ce qu’il sait être vrai pour les polynômes finis aux polynômes infinis.  Il factorise la fonction f de telle manière

Il regroupe ensuite les facteurs deux par deux

ces facteurs étant des différences de carrés

ce qui nous mène à cette égalité particulièrement formidable

et typiquement eulérienne : une somme infinie à gauche et un produit infini à droite.  À ce moment, Euler fait preuve d’encore plus d’audace et sort un autre tour de son sac : il s’imagine multiplier le produit infini à droite et regrouper les termes semblables.  Le premier terme serait le produit de tous les 1 et c’est, bien entendu, 1.  Pour obtenir le deuxième terme, en x², il fait le produit du terme 1 de tous les facteurs sauf un et du terme en x² de ce facteur.  La multiplication infinie d’Euler lui donne quelque chose comme

Dans le cas qui l’intéresse, les coefficients des termes de degrés supérieurs à 2 dans le membre de droite de l’égalité lui sont inconnus et de toute façon inutiles.  Maintenant qu’il possède une égalité de deux sommes infinies, il égale les coefficients des termes en x²

En multipliant par -1 de chaque côté et en observant que 3! = 6, il a d’abord

puis en multipliant chaque côté par π², il obtient le résultat si remarquable

qui résistait à l’assaut des mathématiciens depuis des décennies.  Un nombre de prime abord invraisemblable mais définitivement plus petit que 2 tel que prédit par Jakub.  Une égalité dans laquelle on retrouve, d’un côté, les nombres carrés et de l’autre, la constante du cercle.

 

En reprenant ceciEuler substitueet obtientLa fonction sinus atteignant son maximum de 1 à cette valeur, il obtientIl effectue ensuite les soustractions dans chaque parenthèse et obtient

ou en inversant

Enfin en factorisant les numérateurs et dénominateurs, il trouve

la formule du mathématicien anglais John Wallis, qui exprime π/2 comme le quotient du produit des nombres pairs au numérateur et des nombres impairs au dénominateur

Lorsque Johann apprend qu’Euler a trouvé la solution au problème de Bâle, il écrit : Utinam Frater superstes esset ! (si seulement mon frère était encore en vie !)  Cependant la preuve ne fait pas l’unanimité et bien qu’ils acceptent la solution, quelques détracteurs, dont notamment le fils de Johann, Daniel, expriment à Euler leur réserve quant à la démarche menant à la solution. Euler répond à ses détracteurs avec une preuve complètement différente mais tout aussi ingénieuse se basant sur trois lemmes et faisant usage sans réserve du calcul intégral.

Il existe aujourd’hui des dizaines d’autres preuves de ce résultat (voir [1]). Voici non pas la deuxième preuve plus rigoureuse d’Euler, mais une preuve récente élémentaire (sans calcul intégral, sauf pour une toute petite limite à la toute fin).  C’est sans aucun doute celle qui nécessite le moins de notions préalables (bien qu’elle soit plutôt longue).  Elle semble être apparue comme exercice dans un livre des frères Akiva et Isaak Yaglom, dont l’édition originale Russe est parue en 1954.  D’autres versions de cette preuve ont été redécouverte par F. Holme (1970), I. Papadimitriou (1973) et Ransford (1982) qui l’attribua à John Scholes.  On retrouve cette preuve dans le superbe livre Proofs from THE BOOK (4^ième édition, 2010) de Aigner et Ziegler.

 

L’idée de la preuve est de coincer la série

dans une double inégalité dans laquelle les deux côtés tendent vers la même valeur,

lorsque

On se rappelle d’abord la formule du binôme de Newton

En reprenant la formule d’Euler (décidément!)

et en élevant le tout à la n

c’est-à-dire

il nous est possible d’appliquer la formule du binôme à droite.  On obtient

et comme i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = –i, i⁴ = 1, …, on obtient

En ne considérant que la partie imaginaire de cette égalité, on a

On divise chaque côté par

afin d’obtenir

On pose

et donc

et pour x on considère les m différentes valeurs

avec

On remarque que pour chacune de ces valeurs, on a et donc, toujours pour ces valeurs, Enfin,

implique m valeurs strictement positives pour

Puisque pour ces m valeurs de x on a

l’équation

devient

toujours pour ces m valeurs de x.  En réécrivant, on obtient

Sur ce, on considère le polynôme p suivant

On connait ses m racines distinctes ! Ce sontpour

À l’instar d’Euler, on peut donc réécrire le polynôme sous sa forme factorisée

Remarquons que le coefficient de t^m-1 d’un polynôme

est

après multiplication des facteurs [2].  On peut donc comparer les coefficients de t^m-1 dans

et

afin d’obtenir

Cela nous permet de trouver l’expression qui représente la somme des racines

ce qui se simplifie comme

c’est-à-dire que

C’est une très jolie formule qui donne pour les premières valeurs de m

C’est aussi ce que l’on aura besoin d’un côté de la double inégalité.  De l’autre, on aura besoin de

Pour prouver cette dernière équation, on remarque que

et donc

devient en ajoutant m de chaque côté

c’est-à-dire

ou

On s’attaque maintenant à l’étape finale !  Puisque pour

on a [3]

cela implique que

ou en réécrivant

En élevant au carré on obtient finalement

Il suffit de prendre cette double inégalité et de l’appliquer à chacune des m valeurs considérées de x.  On somme.

En multipliant par

partout, on obtient

Enfin, en réécrivant

on s’aperçoit que la somme est coincée entre deux côtés d’une inégalité qui tendent chacun vers

lorsque

 

 

 

[1] Evaluating ζ(2) Fourteen proofs compiled by Robin Chapman

[2] Par exemple, pour les premières valeurs de r, on a

…

[3] En considérant le cercle trigonométrique suivant

on a

c’est-à-dire

ou tout simplement

Références : William Dunham (1991), Journey Trough Genius

William Dunham  (1999), Euler : The Master of Us All

Martin Aigner et Günter M.  Ziegler (2004), Proofs from THE BOOK