Icosaèdre régulier

On avait déjà vu sur ce blog que la valeur exacte du cosinus de 36° est

L’angle intérieur d’un pentagone régulier étant de 108°, cette valeur nous permet de trouver le rapport entre la mesure d’un côté d’un pentagone régulier et la mesure de sa diagonale,ce rapport étant égal au double du cosinus de 36° : le nombre d’or (noté φ) ! L’icosaèdre régulier est un des cinq polyèdres réguliers. Ses 20 faces sont des triangles équilatéraux isométriques et à chaque sommet se rejoignent 5 faces.

Ainsi, en considérant les cinq faces triangulaires isométriques partant d’un sommet, il est possible d’identifier un ensemble d’arêtes qui sont coplanaires et qui forment un pentagone régulier.

Cette remarque, bien qu’elle soit incomplète, nous permet néanmoins d’apprécier la jolie construction suivante,

un assemblage de trois rectangles dans les proportions “divines” (c’est-à-dire du nombre d’or). Les plus petits côtés des rectangles correspondent à des arêtes alors que les plus grands, des diagonales de pentagones. Cela nous permet aussi de visualiser les coordonnées cartésiennes des sommets d’un icosaèdre régulier (dont les arêtes, par soucis de simplicité et d’élégance, mesurent 2 unités)

 Bien sûr, cette longue introduction à ce court billet n’avait en réalité d’autre but que de vous présenter l’icosaèdre de votre humble serviteur

Fait en quelques heures avant l’affectation des postes ! Disons seulement que ça manque un peu de couleurs…

Référence : H.S.M. Coxeter (1989), Introduction to Geometry 2nd Edition

Wikipedia et Mathcurve pour certaines images.

5 thoughts on “Icosaèdre régulier

  1. j’ai réalisé le même icosaèdre avec des planches . J’aime beaucoup cette construction, qui change complétement le point de vue .
    Bravo toujours pour ce site intéressant

  2. bonjour je suis en seconde et mon prof de maths nous a demandé de faire un devoir maison sur le nombre de diagonales dans un icosaèdre. Il faut 1 page minimum et avoir une méthode. Pourriez-vous m’aider svp, c’est urgent!

  3. Bonjour Dorial,

    je ne ferai pas d’aide aux devoirs ici (je travaille déjà assez d’heures à l’aide aux devoirs chaque semaine ahah !) Cependant je vous laisse quelques questions qui vous aideront (j’espère) dans votre démarche.

    À l’instar de ce qu’on fait dans le plan avec des polygones…

    – Considérez un sommet sur l’icosaèdre. Combien de sommets sont “adjacents” à ce sommet ?
    – Puis, combien de diagonales peut-on compter depuis ce seul sommet ?
    – Combien de diagonales en tout ? Indice : On peut compter les diagonales deux fois (il y a deux extrémités, donc deux sommets, pour chaque diagonale) puis diviser en deux par la suite.

    La démarche tient en quelques lignes.

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