Grâce à la relation de Pythagore et à quelques triangles rectangles bien choisis, il est facile de calculer les valeurs exactes de certains rapports trigonométriques. Les classiquesou
ou encore
peuvent être trouvés de cette façon. Puis, avec les formules d’addition d’angles et d’angles doubles, on peut trouver d’autres valeurs exactes. Par exemple, en se rappelant que
on peut trouver
Et en remplaçant par ce qui est connu, on trouve
ce qui fait
et donc tout simplement
Ou bien, en se rappelant que
on trouve
ce qui fait
En remplaçant la valeur du cosinus connue, on obtient
On additionne 1 de chaque côté
ce qui fait
et donc en effectuant l’addition
Puis en divisant chaque côté de l’équation par 2
Il suffit enfin d’extraire la racine carrée de chaque côté de l’équation
ce qui fait
et donc plus simplement
Et comme
on obtient ce joli résultat
Bon. Tout cela reste cependant bien peu spectaculaire. Voici un résultat différent qui, en général, ne manque pas d’impressionner les étudiants. Trouvons la valeur exacte de
Exit les triangles rectangles. Nous allons considérer le triangle isocèle suivant
On appelle ce triangle le triangle d’or. Si on trace la bissectrice d’un des angles de 72°, on obtient un nouveau triangle isocèle semblable au premier (cas de similitude AA). On peut répéter le processus indéfiniment. Ceux qui connaissent le rectangle d’or y voient l’analogie.
Traçons, justement, une de ces bissectrices. On obtient
Le triangle ABD est semblable au triangle ABC par AA. Le triangle ABD est isocèle. Si AB mesure y, alors AD aussi puisque ce sont les côtés isométriques du triangle isocèle. Mais il y a en un troisième, triangle isocèle, bien qu’il ne soit pas semblable aux deux autres. C’est le triangle ADC (observez la paire d’angles de 36°). On trouve ainsi que la mesure de DC est aussi égale à y. En posant la mesure de BD égale à x, on trouve que la mesure de BC (et donc aussi de AC) est égale à x + y. On peut établir la proportion suivante en associant correctement les côtés homologues dans les deux triangles semblables
ou plus simplement
En effectuant le produit croisé, on obtient
On divise ensuite chaque côté par
ce qui fait
On obtient ainsi un polynôme du deuxième degré en y / x
Avec la formule quadratique, on trouve
Comme y/x est un rapport de mesures positives, on ne retient que la valeur positive pour y / x
ce qui fait
On reconnait d’ailleurs le nombre d’or. Pour des raisons à ce moment loin d’être apparentes, on fait deux choses : d’abord on inverse et puis on élève au carré. On obtient dans un premier tempsEn rationalisant le dénominateur on obtient
et donc ceci
ce qui fait en simplifiant le dénominateur
Sitôt ce résultat obtenu, on obtient dans un deuxième tempsce qui est équivalent à
En développant
et en regroupant les termes semblables
Finalement, en simplifiant la fraction, on obtient
Considérons maintenant l’angle BAD de 36° dans le triangle BAD. En utilisant la loi des cosinus, on peut écrire
En simplifiant le membre de droite on obtient
On effectue d’abord la mise en évidence du carré de y à droite
puis on divise chaque côté par ce même carré de y
Il nous suffit donc d’écrire
pour comprendre la peine qu’on s’était donnée pour trouver
On obtient donc
Il suffit maintenant d’isoler sans trop de mal le cosinus. On divise chaque côté par 2
On soustrait ensuite 1 de chaque côté
ce qui fait
et donc en effectuant la soustraction
On multiplie enfin chaque côté de l’égalité par -1
Voilà ! La valeur exacte du cosinus de 36°.
Je jongle présentement avec les notions de preuves et les types de raisonnements (abductif, inductif et déductif) et cette superbe démonstration cadre à merveille dans mes réflexions. Merci beaucoup.
Je vous en prie !
Bonne journée !