La droite d’Euler

Prenez quelques minutes de votre temps et découvrez ce résultat fort étonnant.

Ce qu’il faut savoir :

Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes ;

dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes ;

dans un triangle, les trois médianes sont concourantes.

Voilà ce qu’il faut savoir ! Eh bien commençons !  Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des deux extrémités du segment.  Traçons la médiatrice de $AB$ qui la coupe en $C$.  $D$ est un point de cette médiatrice.  Montrons que \[\overline{AD}\cong \overline{BD}\]Le cas est trivial si $D$ et $C$ sont confondus, point milieu de $\overline{AB}$ (définition de médiatrice).


Si $D$ n’est pas en $C$, alors par définition de médiatrice,  on a  bien \[\overline{AC}\cong \overline{BC}\]et on a aussi \[m\angle ACD = m\angle BCD = 90^{\circ}\]Puisque les triangles $ACD$ et $BCD$ partagent le côté $CD$,  on trouve qu’ils sont isométriques par le cas d’isométrie CAC.  Et comme dans les triangles isométriques les côtés homologues sont isométriques, on trouve \[\overline{AD}\cong \overline{BD}\]La réciproque est aussi vraie.  Si $D$ est équidistant de $A$ et de $B$, on peut affirmer que \[\overline{AD}\cong \overline{BD}\]En particulier, si $D$ était sur $\overline{AB}$ ($C$ sur l’image), on aurait aussi \[\overline{AC}\cong \overline{BC}\]Puisque les deux triangles $ACD$ et $BCD$ partagent le côté $CD$, on trouve qu’ils sont isométriques par CCC.  Les angles $ACD$ et $BCD$ étant d’une part des angles homologues isométriques, et d’autre part adjacents supplémentaires, on déduit que \[m\angle ACD = m\angle BCD = 90^{\circ}\]$DC$ est donc une médiatrice.

Considérons le triangle $ABC$ suivant.  $DF$ est la médiatrice de $\overline{BC}$ et $DE$ est la médiatrice de $\overline{AC}$.  Les deux médiatrices se coupent en $D$.

Puisque $DF$ est la médiatrice de $\overline{BC}$, on trouve \[\overline{BD}\cong \overline{CD}\]Puisque $DE$ est la médiatrice de $\overline{AC}$, on trouve \[\overline{AD}\cong \overline{CD}\]et par transitivité, on conclut que \[\overline{AD} \cong \overline{BD}\]Mais cela implique donc que $D$ est situé sur le médiatrice de $\overline{AB}$ puisqu’il est équidistant de $A$ et de $B$ ! Les trois médiatrices se rencontrent en un point.  C’était la première chose à savoir !

Portons maintenant notre attention sur le triangle $ABC$ suivant :

On a d’abord tracé les trois hauteurs $AJ$, $BE$ et $CD$.  On a ensuite tracé $GI$ parallèle à $AC$ et passant par $B$, $HI$ parallèle à $AB$ et passant par $C$ et $GH$ parallèle à $BC$ et passant par $A$.

Toutes ces droites parallèles forment évidemment une panoplie d’angles alternes-internes isométriques.

Considérons les parallèles $AC$ et $GI$ et la sécante $BC$.  Les angles $IBC$ et $ACB$ sont alternes-internes isométriques.

Considérons les parallèles $AB$ et $HI$ et la sécante $BC$.  Les angles $ABC$ et $BCI$ sont aussi alternes-internes isométriques.

Les triangles $BIC$ et $ABC$ partagent le côté $BC$ et sont donc isométriques par $ACA$.  Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouve\[\overline{AC}\cong \overline{BI}\]Considérons les parallèles $BC$ et $GH$ et la sécante $AB$.  Les angles $GAB$ et $ABC$ sont alternes-internes isométriques.

Considérons à nouveau les parallèles $AC$ et $GI$ et la sécante $AB$.   Les angles $GBA$ et $BAC$ sont alternes-internes isométriques.

Les triangles $GAB$ et $CBA$ partagent le côté $AB$ et sont donc isométriques par $ACA$.  Et comme dans les triangles triangles isométriques, les côtés homologues sont isométriques, on trouve\[\overline{AC}\cong \overline{BG}\]Cela implique donc, par transitivité, que \[\overline{BG}\cong \overline{BI}\]On peut dire que $B$ est le point milieu de $\overline{GI}$.  Par le même raisonnement, on pourrait trouver que $A$ est le point milieu de $\overline{GH}$ et $C$ est le point milieu de $\overline{HI}$.

Comme $BE$ est perpendiculaire à $AB$ (définition de hauteur) et $AB$ est parallèle à $GI$ (par construction), on a $BE$ perpendiculaire à $GI$.  Par le même raisonnement, on trouve que $AJ$ est perpendiculaire à $GH$ et $DC$ est perpendiculaire à $HI$.

$BE$, $AJ$ et $DC$ sont donc les médiatrices du triangle $GHI$.  Et comme les médiatrices sont concourantes, on trouve que $BE$, $AJ$ et $DC$, qui sont aussi les hauteurs de $ABC$, se rencontrent en $F$.  Les trois hauteurs d’un triangle se rencontrent donc en un même point.  C’était la deuxième chose à savoir !

Considérons maintenant le triangle $ABC$ suivant :

Dans le triangle $ABC$, on a tracé les médianes $CE$ et $AD$ qui se coupent en $G$.  Traçons aussi $DE$.  Par définition de médiane, on trouve que \[m\overline{AB} = 2\, m\overline{BE}\]et \[m\overline{BC} = 2\, m\overline{BD}\]Les triangles $ABC$ et $EBD$ partagent l’angle $EBD$.  Ils sont donc semblables par CAC.  Puisque dans les triangles semblables les côtés homologues sont dans le même rapport, on déduit que \[m\overline{AC} =2\, m\overline{ED}\]Dans les triangles semblables, les angles homologues étant isométriques, on trouve que les angles $BED$ et $BAC$ sont isométriques.  Et puisque ces angles sont aussi correspondants, on trouve que $ED$ est parallèle à $AC$ (puisque des angles correspondants isométriques sont formés par des parallèles).  En considérant cette dernière paire de parallèles et la sécante $CE$, on trouve que les angles $DEG$ et $ACG$ sont alternes-internes isométriques.  Avec les angles $EGD$ et $CGA$ opposés par le sommet, et donc isométriques, on conclut que les triangles $EGD$ et $CGA$ sont semblables par AA.  On avait déjà établit que \[m\overline{AC} = 2\, m\overline{ED}\]et puisque dans les triangles semblables on observe des côtés homologues proportionnels, alors on déduit que \[m\overline{EG} = 2\, m\overline{CG}\]et \[m\overline{DG} = 2\, m\overline{AG}\]Les médianes se coupent donc au $\dfrac{2}{3}$ de leur longueur à partir du sommet (ou dans un rapport $2:1$).  En répétant cette démarche avec l’autre médiane, on trouve que les médianes se rencontrent effectivement en un même point.  C’était la troisième chose à savoir !

Enfin, considérons le triangle $ABC$ suivant :

$BF$ et $CE$ sont deux droites supportant les médianes se coupant en $G$.  $FH$ et $DH$ sont deux médiatrices se coupant en $H$.  Prolongeons $GH$ jusqu’en $J$ de telle sort que \[m\overline{GJ} = 2\, m\overline{GH}\]On sait que \[m\overline{GB} = 2\, m\overline{GF}\]On trouve aussi que l’angle $JGB$ est congru à l’angle $HGF$ puisqu’ils sont opposés par le sommet.  Les triangles $JGB$ et $HGF$ sont donc semblables par le cas de similitude CAC.

Et comme dans les triangles semblables, les angles homologues sont isométriques, on trouve\[\angle GJB \cong \angle GHF\]Cela implique que les droites $JB$ et $FH$ sont parallèles puisque des angles alternes-internes isométriques sont formés par des parallèles (en utilisant la sécante $JH$).

Puisque $HF$ est une médiatrice, on trouve que $HF$ et $AC$ sont perpendiculaires.  $JB$ est donc aussi perpendiculaire à $AC$.  $JB$ est donc supportée par la hauteur issue de $B$.  $J$ est donc le point d’intersection des hauteurs.

Dans un triangle, les points d’intersection des hauteurs, des médianes et des médiatrices sont alignées sur une même droite : la droite d’Euler.

Référence : Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Mathematics (1965)

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