Author: The Dude

En quatrième secondaire, les élèves sont introduits aux fonctions périodiques de manière très large et générale. Ils apprennent entre autres ce qu’est une période, comment l’identifier et quoi faire avec. Ils reconnaissent des représentations graphiques de diverses de fonctions périodiques (mais sans étudier les règles) et, à partir du graphique, sont capables d’identifier certaines propriétés de ces fonctions. Les plus avantureux comprennent que si \(f\) est une fonction périodique de période \(p\), alors \[f(x_{0}) = f(x_{0} + np)\]pour tout \(n\in \mathbb{Z}\) et \(x_{0}\in \mathrm{dom}f\).

Mais tout cela est fait sans étudier une seule fonction périodique particulière (dont on connaîtrait la règle, par exemple), les fonctions trigonométriques étant au programme de cinquième secondaire. Les élèves de quatrième secondaire ayant cependant étudié la fonction partie entière (ou fonction plus grand entier inférieur ou égal à…, notée \([x]\)), je leur ai demandé de tracer la fonction suivante : \[f(x) = x-\left[x\right]\]

fonction très intéressante à tracer (allez-y !) et dont voici le graphique

Quelques élèves y sont parvenus. J’ai tracé ce graphique en classe lors de la correction du devoir. Et puis spontanément j’ai fait avec eux l’étude de cette fonction périodique, bien que cela n’était pas prévu dans la leçon. Et là, sans préavis, surgit la question qui tue : cette fonction possède-t-elle un maximum ? Quelle occasion en or de leur montrer ceci.

On connait bien l’identité suivante \[\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\]De cette identité, il est facile et rapide d’affirmer que l’expression\[a^{2}+3ab+b^{2}\]ne peut représenter un nombre carré. Or, ce n’est pas parce que l’expression précédente n’est pas un carré algébrique qu’elle ne peut représenter un nombre carré. Essayons\[a=7, \quad b=3\]On obtient\begin{align*}a^{2}+3ab+b^{2}&=7^{2}+3(7)(3)+3^{2}\\ \\ &=49+63+9 \\ \\ &=121 \\ \\ &=\left(11\right)^{2}\end{align*}Ah !

Référence : C. Stanley Ogilvy et John T. Anderson (1988), Excursions in number theory

Existe-t-il des nombres du type \[a^{b}\]dans lesquel \(a\) et \(b\) sont des nombres irrationnels qui soient rationnels ? On peut montrer que ces nombres existent sans toutefois en trouver un en exemple. Et la démarche est très simple mais pourtant brillante. Considérons le nombre \[{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\]Il s’agit bien d’un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle. Est-il rationnel ou non ?

S’il l’est, alors la recherche est terminée. S’il ne l’est pas, alors le nombre \[\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}\]c’est-à-dire lui aussi un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle, est égal à \begin{align*}\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} &={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\ &=\sqrt{2}^{2} \\ \\ &= 2\end{align*}un nombre non seulement rationnel mais en plus entier !

En réalité, il a été prouvé que le nombre \[{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\]est non seulement irrationnel mais en plus transcendant. Il est donc particulièrement curieux de représenter le nombre entier, \(2\), à l’aide d’un nombre transcendant élevé à une puissance irrationnelle.

Référence : C. Stanley Ogilvy et John T. Anderson (1988), Excursions in number theory