On a déjà rencontré l’astroïde ici et ici. Nous avons vu que les équations paramétriques de l’astroïde étaient \begin{align*}x & = R \cos^{3}t \\ \\ y&=R \sin^{3}t\end{align*}avec \(0\leq t\leq 2\pi\). Sans perte de généralité, on peut poser \(R = 1\). La question qui nous intéresse (et la réponse qui est surprenante) : quelle est la longueur de l’astroïde ?
Dans le cas général d’une courbe paramétrée, la longueur \(L\) d’un arc de cette courbe sur l’intervalle \(a\leq t \leq b\) est donnée par \[L = \int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)^{2}}\textrm{d}t\]Dans le cas de l’astroïde, on cherche \[L = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\cos^{3}t\right)^{2}+\left(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\sin^{3}t\right)^{2}} \textrm{d}t\]
On peut trouver \begin{align*}\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\sin^{3}t &= \left(3\sin^{2}t\right)(\cos t) \\ \\ &=3\sin^{2}t \cos t \end{align*} et \begin{align*} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\cos^{3}t &= \left(3\cos^{2}t\right)(-\sin t) \\ \\ &=-3\cos^{2}t \sin t \end{align*}Sachant que \[\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1\]on obtient donc \begin{align*} L &= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\sin^{3}t\right)^{2}+\left(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\sin^{3}t\right)^{2}} \ \textrm{d}t \\ \\ &= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(3\sin^{2}t \cos t\right)^{2}+\left(-3\cos^{2}t \sin t\right)^{2}}\ \textrm{d}t \\ \\ &= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{9\sin^{4}t \cos^{2}t +9\cos^{4}t+\sin^{2}t} \ \textrm{d}t \\ \\ &= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(9\sin^{2}t\cos^{2}t\right)\left(\sin^{2}t+\cos^{2}t\right)} \ \textrm{d}t \\ \\ &= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(3\sin t \cos t\right)^{2}}\ \textrm{d}t \\ \\ &= \int_{0}^{2\pi} |3 \sin t \cos t | \ \textrm{d}t \\ \\ &= 3 \int_{0}^{2\pi}\left| \sin t \cos t \right| \ \textrm{d}t \end{align*}Sachant aussi que \[\sin 2t = 2\cos t \sin\ t \]on peut substituer \begin{align*}L&= 3\int_{0}^{\pi} | \sin t \cos t | \ \textrm{d}t \\ \\ &= 3\int_{0}^{2\pi} \left| \frac{1}{2}\sin 2t \right| \ \textrm{d}t \\ \\ &= \frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}|\sin 2t | \ \textrm{d}t \end{align*}Comme l’astroïde est composée de quatre branches isométriques se trouvant dans les quatre quadrants, le plus simple est d’évaluer \(4\) fois la même intégrale avec les bornes \(t=0\) à \(t = \frac{\pi}{2}\). On note que sur l’intervalle \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), on a \(\sin 2t \geq 0\) et il est donc possible de se départir des valeurs absolues. \begin{align*}L&= \frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}|\sin 2t | \ \textrm{d}t \\ \\ &=6\int_{0}^{\pi/2}\sin 2t \ \textrm{d}t \\ \\ &=-3\cos 2t\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ \\ &= -3\cos\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right)-\left(-3\cos\left(2\cdot 0\right)\right) \\ \\ &= -3\cos \pi +3\cos 0 \\ \\ &= -3\cdot (-1) +3(1) \\ \\ &=6\end{align*}Un nombre entier ! Surprenant !
En prime
La pente de la tangente à un point \(P\!\left(x(t),\ y(t)\right)\) de l’astroïde est \begin{align*}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} &= \frac{3\sin^{2}t \cos t}{-3\cos^{2}t \sin t} \\ \\ &= -\frac{\sin t }{\cos t}\\ \\&=-\tan t \end{align*}Il est intéressant de noter à cette étape-ci qu’il s’agit de l’opposé de l’inverse de la pente d’un cercle (soit \(\cot t\)). On peut trouver l’équation de la tangente pour une valeur de \(t\) \[y = f^{\prime}(t)\left(x-x(t)\right) + y(t)\]soit \[y = -\tan t \left(x-\cos^{3}(t)\right) + \sin^{3}(t)\]
L’ordonnée à l’origine de la tangente est \begin{align*}y &= -\tan t \left(0-\cos^{3}t\right) + \sin^{3}t \\ \\ &= \frac{\sin t}{\cos t} \cos^{3}t + \sin^{3}t \\ \\ &= \sin t \cos^{2}t + \sin^{3}t \\ \\ &= \sin t \left(\cos^{2}t + \sin^{2}t\right) \\ \\ &= \sin t\end{align*}
L’abscisse à l’origine de la tangente est \begin{align*}0 &= \tan t \left(x-\cos^{3}t\right) + \sin^{3}t \\ \\ -\sin^{3}t &= -\frac{\sin t}{\cos t} \left(x-\cos^{3}t\right) \\ \\ \sin^{2}t \cos t &= x-\cos^{3}t \\ \\ \sin^{2}t \cos t + \cos^{3}t &= x \\ \\ \cos t \left(\sin^{2}t + \cos^{2}t\right) &=x \\ \\ \cos t &= x\end{align*}
On peut calculer la distance \(l\) entre les points \((0, \sin t)\) et \((\cos t, 0)\) \begin{align*}l &= \sqrt{\left(0-\cos t\right)^{2}+\left(\sin t-0\right)^{2}} \\ \\ &= \sqrt{\cos^{2}t + \sin^{2}t} \\ \\ &= \sqrt{1} \\ \\ &= 1 \end{align*}L’astroïde est aussi l’enveloppe d’un segment de longueur fixe dont les extrémités se déplacent sur les axes. Pensez à la trace d’une porte d’autobus qui s’ouvre.
Le point milieu du segment est \(\left(\!\frac{\cos t}{2}, \frac{\sin t}{2}\!\right)\). Ce sont les équations paramétrique d’un cercle de rayon \(\frac{1}{2}\). Il est possible de montrer que l’astroïde est l’enveloppe d’un diamètre d’un cercle de rayon \(\frac{1}{2}\) qui roule dans glisser à l’intérieur du grand cercle (de rayon \(1\)).
En prime (bis)
On considère l’ellipse d’équation \[\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]avec \[a=\cos^{2}(t)\]et \[b =\sin^{2}(t) \]On peut constater que l’ellipse passe par \(P\!\left(x(t),\ y(t)\right)\) \begin{align*}\frac{\left(x(t)\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y(t)\right)^{2}}{b^{2}} &= \frac{\left(\cos^{3}t\right)^{2}}{\left(\cos^{2}t\right)^{2}}+\frac{\left(\sin^{3}t\right)^{2}}{\left(\sin^{2}t\right)^{2}} \\ \\ &= \frac{\cos^{6}t}{\cos^{4}t}+\frac{\sin^{6}t}{\sin^{4}t} \\ \\ &= \cos^{2}t + \sin^{2}t \\ \\ &= 1\end{align*}En dérivant \[\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]on obtient \[\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y}{b^{2}}\cdot \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 0\]On isole \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\) \begin{align*}\frac{2y}{b^{2}}\cdot \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} &= -\frac{2x}{a^{2}} \\ \\ \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} &= -\frac{2xb^{2}}{2ya^{2}} \\ \\ &= -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\end{align*}
En remplaçant, \(a^{2}\) par \(\cos^{4}t\) et \(b^{2}\) par \(\sin^{4}t\) et en considérant le point \(P\!\left(\cos^{3}t,\ \sin^{3}t\right)\), on trouve la pente de la tangente en ce point, \[-\frac{\sin^{4}t\cos^{3}t}{\cos^{4}t\sin^{3}t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t \]Il s’agit de la même pente que pour l’astroïde. L’ellipse possède donc en ce point la même tangente que l’astroïde. Puisque \[a + b = \cos^{2}t + \sin^{2}t = 1\]il est possible de montrer que l’astroïde est l’enveloppe des ellipses dont la somme du demi-grand axe et du demi-petit axe est \(1\).
