Parmi les quelques notions évacuées dans le nouveau programme de quatrième secondaire, on retrouve la formule de la distance entre un point et une droite. Cela me semble bienvenu puisque je ne connaissais pas beaucoup d’enseignants prêts à en fournir la démonstration en classe, et encore moins d’élèves pour la suivre. La voici.
Considérons la droiteet le point
(hors de la droite) dans le plan.
On cherche la distance entre le point et la droite. Cette distance est la mesure du segment perpendiculaire à la droite D1 passant par P. Traçons donc la droite D2, perpendiculaire à la droite D1 et passant par P, sécante en T, telle que
On peut d’abord transformer l’équation générale de D1 et trouver son équation fonctionnelle (si B n’est pas nul). On a d’abord
puis en divisant par –B
Si la pente de cette droite est
alors la pente de D2, perpendiculaire, sera donc l’opposé de l’inverse de la pente de D1, soit
et son équation sera de la forme
On peut trouver l’ordonnée à l’origine b en remplaçant x et y par les coordonnées de P
et en isolant b
ce qui nous permet d’obtenir la forme fonctionnelle de D2
Il nous est donc possible de comparer les équations sous forme fonctionnelle des deux droites afin de résoudre le système d’équations. Nous obtiendrons de cette façon les coordonnées du point T.
Avant quoi que ce soit, cherchons le dénominateur commun AB
afin d’obtenir
On regroupe par la suite les termes en x d’un côté
La mise en évidence de x nous donne
et donc
C’est l’abscisse du point T. Pour trouver l’ordonnée, il faut remplacer cette valeur dans l’une ou l’autre des équations. En choisissant celle de D1on obtient
ce qui donne
puis en mettant sur dénominateur commun
et donc
En effectuant la soustraction on obtient
puis après simplification de deux des termes
et enfin après la simplification du facteur B
Les coordonnées de T sont donc
Pas simple ! Et cela ne semble pas s’améliorer d’un poil lorsqu’on considère la distance entre P et T, donnée par
En exprimant les termes dans les parenthèses sous dénominateur commun on obtient
ce qui fait après distribution
et puis, en effectuant les soustractions
Après une petite simplification de deux termes
on effectue une double mise en évidence
Une propriété des exposants nous permet d’écrire la dernière expression comme ceciEt en effectuant l’addition, on trouve
Il ne reste qu’à compléter la mise en évidence double
et à simplifier
Une propriété des racines nous permet d’écrire l’expression précédente comme
ce qui est équivalent à
Cela nous permet d’écrire enfin
Merci Dude,
J’avais oublié cette preuve car je la trouve un peu lourde et difficile pour des élèves de 4e secondaire.
Je me demandais s’il n’y avait pas une démonstration plus simple.
J’en connait une autre avec des vecteurs, mais c’est pour les élèves de 5e secondaire.
Bonne journée.
Frank
Vraiment super !!!
Je cherchais une démonstration qui n’utilisait pas les vecteurs et le produit scalaire…
Enfin trouvée !!!
Merci Jean.
Il y a aussi celle-ci qui est moins fastidieuse : https://www.thedudeminds.net/?p=3980