La distance d’un point à une droite dans le plan

Parmi les quelques notions évacuées dans le nouveau programme de quatrième secondaire, on retrouve la formule de la distance entre un point et une droite.  Cela me semble bienvenu puisque je ne connaissais pas beaucoup d’enseignants prêts à en fournir la démonstration en classe, et encore moins d’élèves pour la suivre.  La voici.

Considérons la droiteet le point(hors de la droite) dans le plan.

On cherche la distance entre le point et la droite.  Cette distance est la mesure du segment perpendiculaire à la droite D­₁ passant par P.  Traçons donc la droite D₂, perpendiculaire à la droite D₁ et passant par P,  sécante en T, telle que

On peut d’abord transformer l’équation générale de D₁ et trouver son équation fonctionnelle (si B n’est pas nul). On a d’abord

puis en divisant par –BSi la pente de cette droite estalors la pente de D₂, perpendiculaire, sera donc l’opposé de l’inverse de la pente de D₁, soitet son équation sera de la formeOn peut trouver l’ordonnée à l’origine b en remplaçant x et y par les coordonnées de Pet en isolant bce qui nous permet d’obtenir la forme fonctionnelle de D₂

Il nous est donc possible de comparer les équations sous forme fonctionnelle des deux droites afin de résoudre le système d’équations.  Nous obtiendrons de cette façon les coordonnées du point T.

Avant quoi que ce soit, cherchons le dénominateur commun ABafin d’obtenirOn regroupe par la suite les termes en x d’un côtéLa mise en évidence de x nous donneet donc

C’est l’abscisse du point T.  Pour trouver l’ordonnée, il faut remplacer cette valeur dans l’une ou l’autre des équations.  En choisissant celle de D₁on obtientce qui donnepuis en mettant sur dénominateur communet doncEn effectuant la soustraction on obtientpuis après simplification de deux des termeset enfin après la simplification du facteur BLes coordonnées de T sont donc

Pas simple !  Et cela ne semble pas s’améliorer d’un poil lorsqu’on considère la distance entre P et T, donnée par

En exprimant les termes dans les parenthèses sous dénominateur commun on obtient

ce qui fait après distributionet puis, en effectuant les soustractions Après une petite simplification de deux termeson effectue une double mise en évidence

Une propriété des exposants nous permet d’écrire la dernière expression comme ceciEt en effectuant l’addition, on trouveIl ne reste qu’à compléter la mise en évidence doubleet à simplifierUne propriété des racines nous permet d’écrire l’expression précédente commece qui est équivalent à

Cela nous permet d’écrire enfin