Le théorème de Frégier (ou un peu de géométrie analytique)

En feuilletant The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, je suis tombé sur le théorème de Frégier (sans démonstration). Quel résultat surprenant ! Fasciné, j’ai voulu en savoir davantage puisque j’en n’avais jamais eu connaissance. Je me suis donc dirigé avec enthousiasme sur MathWorld, afin d’y trouver plus de détails. Malheureusement, aucune démonstration là non-plus. Et l’unique référence de MathWorld concernant le théorème de Frégier est… The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Hummmm…

Le théorème de Frégier

Dans une parabole ou une ellipse, d’un point \(P\), on trace des segments perpendiculaires (angles droits qui ont leur sommet en \(P\)). Les côtés des angles droits coupent la parabole ou l’ellipse. Les segments qui joignent les points d’intersection des angles et de la conique passent tous par \(F\), le point de Frégier.

Ne trouvant que peu d’information sur ce théorème, j’ai décidé d’entreprendre une petite démonstration dans le cas de la parabole. Il existe des techniques en géométrie projective qui permettent de démonter le théorème de manière plus générale. Ici, nous n’utiliserons que des techniques de géométrie analytique élémentaire (qu’on verrait en quatrième secondaire par exemple) et porterons notre attention sur la parabole seulement. La géométrie analytique ne fait pas dans l’élégance, mais elle a l’avantage de bien fonctionner, sans surprise. Il suffit d’être un peu rigoureux et attentif lorsqu’on manipule les expressions algébriques. Considérons l’image suivante :

On trouve d’abord l’équation de \(PR\). Sa pente est \[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{p^{2}-r^{2}}{p-r}\]Le numérateur se factorise (c’est une différence de carrés) \[\frac{(p-r)(p+r)}{p-r}\]et se simplifie. Il reste donc simplement \[p+r\]La pente de la droite perpendiculaire à \(PR\), soit \(PR^{\prime}\), est l’opposée de l’inverse de la pente de \(PR\), c’est-à-dire \[-\frac{1}{p+r}\]L’équation de \(PR^{\prime}\) est donc de la forme\[y=\left(\!-\frac{1}{p+r}\right)x+b\]pour un certain \(b\).On peut trouver la valeur de \[b=y+\left(\frac{1}{p+r}\right)x\]en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(P\), soit \((p, \, p^{2})\). On obtient\begin{align*}b&=p^{2}+\left(\frac{1}{p+r}\right)p \\ \\ &=p^{2}+\frac{p}{p+r}\end{align*}L’équation de \(PR^{\prime}\) est donc \[y =\left(\!-\frac{1}{p+r}\right)x+p^{2}+\frac{p}{p+r}\]On trouve les coordonnées de \(R^{\prime}\) en résolvant le système d’équations. On sait que l’équation de la parabole est \[y = x^{2}\]ce qui fait \[x^{2}=\left(\!-\frac{1}{p+r}\right)x + p^{2}+\frac{p}{p+r}\]En envoyant tous les termes à gauche, on obtient un trinôme du deuxième degré (en \(x\)) égal à zéro. \[x^{2}+\left(\frac{1}{p+r}\right)x-p^{2}-\frac{p}{p+r}=0\]La formule quadratique nous donnera les solutions (pratique !) Une de ces solutions sera certainement \(x=p\) puisque la droite \(PR^{\prime}\) croise la parabole en \(P\). L’autre solution sera l’abscisse de \(R^{\prime}\). Le calcul du discriminant \[\left(\frac{1}{p+r}\right)^{2}-4(1)\left(-p^{2}-\frac{p}{p+r}\right)\]donne \[\frac{1}{(p+r)^{2}}+4p^{2}+\frac{4p}{p+r}\]En mettant sur dénominateur commun, on obtient \[\frac{1}{(p+r)^{2}}+\frac{4p^{2}(p+r)^{2}}{(p+r)^{2}}+\frac{4p(p+r)}{(p+r)^{2}}\]et donc \[\frac{4p^{2}(p+r)^{2}+4p(p+r)+1}{(p+r)^{2}}\]Le numérateur est un trinôme carré parfait de la forme \[(\alpha + \beta)^{2}=\alpha^{2}+2\alpha\beta + \beta^{2}\]qui se factorise en posant \[\alpha = 2p(p+r)\]et\[\beta =1 \]On obtient donc\[\frac{(2p(p+r)+1)^{2}}{(p+r)^{2}}\]que l’on peut aussi écrire en distribuant \(2p\) dans la parenthèse \[\frac{(2p^{2}+2pr+1)^{2}}{(p+r)^{2}}\]La formule quadratique nous donne donc \[x = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{p+r}\pm\sqrt{\frac{(2p^{2}+2pr+1)^{2}}{(p+r)^{2}}}\right)\]En extrayant la racine carrée, on obtient \[x = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{p+r}\pm\frac{2p^{2}+2pr+1}{p+r}\right)\]ce qui fait \[x = \frac{-1\pm(2p^2+2pr+1)}{2(p+r)}\]Si on considère la première solution, on a \[x_{1}=\frac{-1+2p^{2}+2pr+1}{2(p+r)}\]ce qui fait \[x_{1}=\frac{2p^{2}+2pr}{2(p+r)}\]Et après mise en évidence \[x_{1}=\frac{2p(p+r)}{2(p+r)}\]et simplification des facteurs, on obtient le résultat attendu, à savoir l’abscisse de \(P\). \[x_{1}=p\]C’est l’autre solution qui nous intéresse, l’abscisse de \(R^{\prime}\) \[x_{2}=\frac{-1-2p^{2}-2pr-1}{2(p+r)}\]qui fait \[x_{2}=\frac{-2p^{2}-2pr-2}{2(p+r)}\]Après mise en évidence de \(-2\) \[x_{2}=\frac{-2(p^{2}+pr+1)}{2(p+r)}\]et simplification, on obtient \[x_{2}=\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}\]Voilà ! Les coordonnées de \(R^{\prime}\) sont donc \[\left(\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}, \ \left(\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}\right)^{2}\right)\]Il n’est pas surprenant que les coordonnées de \(R^{\prime}\) dépendent de celles de \(P\) et de \(R\). Trouvons l’équation de \(RR^{\prime}\). La pente de \(RR^{\prime}\) est \[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\left(\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}\right)^{2}-r^{2}}{\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}-r}\]Le numérateur étant une différence de carrés, on le factorise \[\frac{\left(\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}-r\right)\left(\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}+r\right)}{\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}-r}\]et on simplifie\[\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}+r\]On met ensuite sur dénominateur commun \[\frac{-(p^{2}+pr+1)}{p+r}+\frac{r(p+r)}{p+r}\]ce qui donne \[\frac{-p^{2}-pr-1}{p+r}+\frac{pr+r^{2}}{p+r}\]puis \[\frac{-p^{2}-pr-1+pr+r^{2}}{p+r}\]En simplifiant les termes semblables, on obtient\[\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\]L’équation de \(RR^{\prime}\) est donc de la forme \[y = \left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\right)x + b\]pour un certain \(b\). Encore une fois on trouve la valeur de \(b\) \[b = y-\left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\right)x\]en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(R\) \[b = r^{2}-\left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\right)r\]ce qui fait en mettant sur dénominateur commun \[b = \frac{r^{2}(p+r)}{p+r}-\frac{r^{3}-p^{2}r-r}{p+r}\]et en distribuant \[b = \frac{pr^{2}+r^{3}}{p+r}-\frac{r^{3}-p^{2}r-r}{p+r}\]et finalement en simplifiant un peu \[b= \frac{pr^{2}+r^{3}-r^{3}+p^{2}r+r}{p+r}\]on obtient\[b=\frac{p^{2}r+pr^{2}+r}{p+r}\]L’équation de \(RR^{\prime}\) est donc\[y = \left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\right)x+\frac{p^{2}r+pr^{2}+r}{p+r}\]Par ailleurs, le même raisonnement utilisant les points \(S\) et \(S^{\prime}\) (au lieu de \(R\) et \(R^{\prime}\)) nous permettrait de trouver l’équation de \(SS^{\prime}\) \[y = \left(\frac{s^{2}-p^{2}-1}{p+s}\right)x + \frac{p^{2}s+ps^{2}+s}{p+s}\]Pour trouver les coordonnées de F, il suffit de résoudre le système d’équations \[\left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\right)x + \frac{p^{2}r+pr^{2}+r}{p+r} = \left(\frac{s^{2}-p^{2}-1}{p+s}\right)x + \frac{p^{2}s+ps^{2}+s}{p+s}\]En regroupant les termes en \(x\) à gauche et les autres à droite, on obtient\[\left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\right)x-\left(\frac{s^{2}-p^{2}-1}{p+s}\right)x=\frac{p^{2}s+ps^{2}+s}{p+s}-\frac{p^{2}r+pr^{2}+r}{p+r}\]ce qui fait\[\left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}-\frac{s^{2}-p^{2}-1}{p+s}\right)=\frac{p^{2}s+ps^{2}+s}{p+s}-\frac{p^{2}r+pr^{2}+r}{p+r}\]En multipliant par \((p+r)(p+s)\) chaque terme des deux côtés de l’égalité, on obtient \[\left(\!\left(r^{2}-p^{2}-1\right)\!\left(p+s\right)-\left(s^{2}-p^{2}-1\right)\!\left(p+r\right)\!\right)x = \left(p^{2}s+ps^{2}+s\right)\!\left(p+r\right)-\left(p^{2}r+pr^{2}+r\right)\!\left(p+s\right)\]En distribuant, on obtient d’abord \begin{align*}(pr^{2}-p^{3}-p\, +\, &r^{2}s-p^{2}s-s-(ps^{2}-p^{3}-p+rs^{2}-p^{2}r-r))x= \\ &p^{3}s+p^{2}s^{2}+ps+p^{2}rs+prs^{2}+rs-(p^{3}r+p^{2}r^{2}+pr+p^{2}rs+pr^{2}s+rs)\end{align*}puis \begin{align*}(pr^{2}-p^{3}-p+\, &r^{2}s-p^{2}s-s-ps^{2}+p^{3}+p-rs^{2}+p^{2}r+r)x= \\   &p^{3}s+p^{2}s^{2}+ps+p^{2}rs+prs^{2}+rs-p^{3}r-p^{2}r^{2}-pr-p^{2}rs-pr^{2}s-rs\end{align*}Quelques termes se simplifient à gauche et à droite. La mise en évidence de \(-p\) à droite donne \[\left(p^{2}r-p^{2}s+pr^{2}-ps^{2}+r^{2}s-rs^{2}+r-s\right)x=-p\left(p^{2}r-p^{2}s+pr^{2}-ps^{2}+r^{2}s-rs^{2}+r-s\right)\]ce qui, de façon assez surprenante, donne tout simplement \[x=-p\]soit l’abscisse de \(F\). Cette abscisse ne dépend ni de \(R\), ni de \(S\), que de \(P\). Quelle est l’ordonnée de \(F\) ? Il suffit de remplacer \(x\) par \(-p\) dans l’une ou l’autre des équations (\(RR^{\prime}\) ou \(SS^{\prime}\)). On obtient \[y = \left(\frac{r^{2}-p^{2}-1}{p+r}\right)\!\left(-p\right)+\frac{p^{2}r+pr^{2}+r}{p+r}\]ce qui fait\[y=\frac{-pr^{2}+p^{3}+p+p^{2}r+pr^{2}+r}{p+r}\]puis en simplifiant un peu\[y=\frac{p^{3}+p+p^{2}r+r}{p+r}\]Il nous est possible d’effectuer une mise en évidence double au numérateur. On obtient \[y = \frac{p\left(p^{2}+1\right)+r\left(p^{2}+1\right)}{p+r}\]puis\[y=\frac{\left(p^{2}+1\right)\left(p+r\right)}{p+r}\]Et non sans une certaine satisfaction, on peut simplifier pour obtenir \[y = p^{2}+1\]Les coordonnées de \(F\) sont donc \[\left(-p, \ p^{2}+1\right)\]Or, comme \[\left(-p\right)^{2}=p^{2}\]Le lieu de point de \(F\) lorsqu’on déplace \(P\) sur la parabole sera une parabole isométrique à la parabole originale mais déplacée de une unité vers le haut. Dans un cas un peu plus général que vous pourrez vérifier chers lecteurs, si l’équation de la parabole est \[y = ax^{2}\]le lieu de point \(F\) sera \[y = ax^{2}+\frac{1}{a}\]