Existe-t-il des nombres du type
dans lesquels a et b sont des nombres irrationnels qui soient rationnels ? On peut montrer que ces nombres existent sans toutefois en trouver un en exemple. Et la démarche est très simple. Considérons le nombre
Il s’agit bien d’un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle. Est-il rationnel ou non ?
S’il l’est, alors la recherche est terminée. S’il ne l’est pas, alors le nombre
c’est-à-dire lui aussi un nombre irrationnel élevé à une puissance irrationnelle, est égal à
un nombre non seulement rationnel mais en plus entier !
En réalité, il a été prouvé que le nombre
est non seulement irrationnel mais en plus transcendant. Il est donc particulièrement curieux de représenter le nombre entier, 2, à l’aide d’un nombre transcendant élevé à une puissance irrationnelle.
Référence : C. Stanley Ogilvy et John T. Anderson (1988), Excursions in number theory
C’est une application directe du théorème de Gelfond-Schneider : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider
un autre résultat amusant est que e^pi = (-1)^i est transcendant !