Category: Mathématiques

Les triplets pythagoriciens offrent de belles situations de conjectures et de preuves à faire avec les élèves. Et cela peut se faire avec une table de seulement quelques triplets de Pythagore.

Conjecture :

Dans \[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]il y a toujours au moins un des trois nombres, \(a\), \(b\) ou \(c\) qui est pair.

Preuve : Supposons que les trois nombres soient impairs, et exprimons-les de telle façon :

\[a = 2x + 1, \ \ b = 2y + 1, \ \ c = 2z + 1\]avec \[x, \ y, \ z \in \mathbb{Z}\]
L’équation \[a^{2}+ b^{2}=c^{2}\]devient \[(2x+1)^{2} + (2y + 1)^{2}=(2z + 1)^{2}\]En développant on obtient \[(4x^{2}+4x + 1)+(4y^{2}+4y+1) = 4z^{2}+4z+1\]Plaçons ensuite les variables à gauche et les termes constants à droite \[4x^{2}+4y^{2}+4x+4y-4z^{2}-4z=-1\]Ajoutons \(4\) de chaque côté pour obtenir \[4x^{2}+ 4y^{2}+4x+4y-4z^{2}-4z+4 = 3\]Et finalement effectuons la mise en évidence de \(4\) à gauche \[4\left(x^{2}+y^{2}+x+y-z^{2}-z+1\right) = 3\]Et là nous obtenons une contradiction puisque \(4\) n’est évidemment pas un diviseur de \(3\).

Note : on peut aussi montrer que c’est \(a\) ou \(b\) (ou les deux) qui doit toujours être pair.

En effet, si on suppose que \(c\) est pair et que \[c = 2z\]mais que \(a\) et \(b\) soient encore impairs et donc que \[a = 2x + 1\]et \[b = 2y+1\]toujours avec \[x, \ y, \ z \in \mathbb{Z}\]On obtient \[(2x + 1)^{2}+(2y+1)^{2}= (2z)^{2}\]et en développant \[4x^{2}+4x + 1 + 4y^{2}+4y + 1 = 4z^{2}\]En regroupant les termes semblables on obtient \[4x^{2}+4y^{2} + 4x + 4y + 2 = 4z^{2}\]On place maintenant les termes constants à droite et les autres termes à gauche \[4x^{2}+4y^{2}+4x+4y-4z^{2}=-2\]et enfin on ajoute \(4\) de chaque côté \[4x^{2}+4y^{2}+4x+4y-4z^{2}+4 = 2\]La mise en évidence simple de \(4\) à gauche \[4\left(x^{2}+y^{2}+x+y-z^{2}+1\right)=2\]nous amène à la contradiction recherchée : \(4\) n’est pas un facteur de \(2\) ! Il faut donc que, si tous les trois ne sont pas pairs, soit \(a\) ou \(b\) soit pair (et les deux autres impairs).

Conjecture :

Dans \[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]au moins un des deux nombres, \(a\) ou \(b\), est divisible par \(3\).

Preuve : Tout nombre entier peut s’exprimer comme \[3n,\] \[3n+1\]ou \[3n + 2\]avec \[n \in \mathbb{Z}\]Supposons que ni \(a\), ni \(b\) ne soient divisibles par \(3\). À une permutation près, nous avons trois possibilités. \(a\) et \(b\) sont de la même forme : \[a=3x+1, \ \ b=3y+1\]ou \[a = 3x + 2, \ \ b =3y+2\]ou alors \(a\) et \(b\) ne sont pas de la même forme, par exemple \[a = 3x + 1, \ \ b = 3y + 2\]avec \[x, \ y \in \mathbb{Z}\]Dans le premier cas on obtient \[(3x + 1)^{2}+(3y + 1)^{2}\]ce qui fait lorsqu’on développe \[9x^{2}+6x+1+9y^{2}+6y+1\]et donc \[9x^{2}+9y^{2}+6x+6y+2\]Tous les termes sauf le dernier sont divisibles par \(3\). Le reste de la division de \(2\) par \(3\) est \(2\). Dans le deuxième cas on obtient \[(3x+2)^{2}+(3y+2)^{2}\]ce qui fait lorsqu’on développe \[9x^{2}+6x+4+9y^{2}+6y+4\]et donc \[9x^{2}+9y^{2}+6x+6y+8\]Encore une fois, tous les termes sauf le dernier, \(8\), sont divisibles par \(3\). Le reste de la division de \(8\) par \(3\) est \(2\). Enfin, dans le troisième et dernier cas on obtient \[(3x+1)^{2}+(3y+2)^{2}\]ce qui fait lorsqu’on développe \[9x^{2}+6x+1+9y^{2}+6y+4\]et donc \[9x^{2}+9y^{2}+6x+6y+5\]Tous les termes sont divisibles par trois, sauf le dernier, \(5\). Le reste de la division de \(5\) par \(3\) est \(2\).

C’est donc dire que si \(a\) et \(b\) ne sont pas divisibles par \(3\), le reste de la division de \[a^{2}+b^{2}\]par \(3\) sera toujours \(2\) ! C’est embêtant puisque \(c\) est soit de la forme\[3z\]ce qui fait, lorsqu’on l’élève au carré \[9z^{2}\]un nombre divisible par \(3\) (autrement dit, sans reste). Sinon, \(c\) est de la forme \[3z+1\]ce qui fait, lorsqu’on l’élève au carré \[9z^{2}+6z+1\]Les deux premiers termes sont divisibles par \(3\), mais pas le dernier : le reste de la division de \(1\) par \(3\) est \(1\). On a donc un reste de \(1\).  Enfin, si \(c\) est de la forme \[3z+2\]on a, lorsqu’on l’élève au carré,\[9z^{2}+6z+4\]on obtient une expression dans laquelle les deux premiers termes sont divisibles par \(3\), mais pas le dernier : le reste de la division de \(4\) par \(3\) est \(1\). On a donc encore un reste de \(1\).

C’est donc dire que les seuls restes possibles d’une division de \(c^{2}\) par \(3\) sont \(0\) ou \(1\), ce qui est en contradiction avec le résultats précédent : que le reste de la division de \(a^{2}+b^{2}\) par \(3\) est \(2\) ! Conclusion : au moins \(a\) ou \(b\) doit être divisible par \(3\).

Note : On peut aussi montrer de la même manière qu’au moins un des trois nombres doit être divisible par \(5\). On peut aussi montrer qu’au moins \(a\) ou \(b\) est divisible par \(4\).

Merci à Google et son logo spécial en cette journée du 14 mars pour nous instruire ! En effet, parait-il que le 14 mars est la journée internationale du nombre π !

Eh ben !

Et kossé ça fait ça une journée internationale de π ?

Tiré de l’arcticle de Wikipedia :

Le 14 mars, écrit 3/14 en format de date américain, dérive de l’approximation habituelleà trois chiffres 3,14. Elle est généralement célébrée à 1 h 59 de l’après-midi, à cause de l’approximation de six chiffres (3,14159). […] Les fêtes ont lieu dans les départements de mathématiques de diverses universités à travers le monde. […] Ce jour a été célébré de diverses manières. Des groupes de gens, typiquement des clubs pi racontent le rôle qu’a joué ce nombre dans leur vie et imaginent un monde sans π. Pendant ces festivités, les célébrants de pi conçoivent des valeurs alternatives pour π telles que manger pi (pie=tarte), jouer pi (piñata) ou boire pi (piña colada).

Ma parole ! Les mathématiciens n’ont donc pas peur du ridicule !

Bonne journée et n’oubliez pas de fêter !

 

Référence : http://fr.wikipedia.org/wiki/Journ%C3%A9e_de_pi

Grâce à la relation de Pythagore et à quelques triangles rectangles bien choisis, il est facile de calculer les valeurs exactes de certains rapports trigonométriques. Les classiques \[\sin(30^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\]ou \[\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]ou encore \[\sin(60^{\circ}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]peuvent être trouvés de cette façon. Puis, avec les formules d’addition d’angles et d’angles doubles, on peut trouver d’autres valeurs exactes. Par exemple, en se rappelant que \[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\]on peut trouver \[\sin(30^{\circ} + 45^{\circ})=\sin(30^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ})\]Et en remplaçant par ce qui est connu, on obtient \[\sin(75^{\circ}) = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]ce qui fait \[\sin(75^{\circ})= \frac{\sqrt{2}}{4}+ \frac{\sqrt{6}}{4}\]ou si on préfère \begin{align*}\sin(75^{\circ}) &= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ \\ &=\frac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{3}\right)}{4}\end{align*}Ou bien, en se rappelant que \[\cos(2\alpha) = 2\cos^{2}(\alpha)-1\]on trouve \[\cos(2\cdot 15^{\circ}) = 2\cos^{2}(15^{\circ})-1\]ce qui fait \[\cos(30^{\circ}) = 2\cos^{2}(15^{\circ})-1\]En remplaçant la valeur du cosinus connue, on obtient \[\frac{\sqrt{3}}{2}=2\cos^{2}(15^{\circ})-1\]On additionne \(1\) de chaque côté \[\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 2\cos^{2}(15^{\circ})\]ce qui fait \[\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2}=2\cos^{2}(15^{\circ})\]et donc \[\frac{\sqrt{3}+2}{2}= 2\cos^{2}(15^{\circ})\]Puis en divisant chaque côté de l’équation par \(2\) \[\frac{\sqrt{3}+2}{4} = \cos^{2}(15^{\circ})\]Il suffit enfin d’extraire la racine carrée de chaque côté de l’équation (on note que \(\cos(15^{\circ})\) est positif) \[\sqrt{\frac{\sqrt{3}+2}{4}} = \cos(15^{\circ})\]ce qui fait \[\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{\sqrt{4}} = \cos(15^{\circ})\]et donc plus simplement \[\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2} = \cos(15^{\circ})\]Et comme \[\sin(75^{\circ})=\cos(15^{\circ})\]on obtient ce joli résultat \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{\sqrt{3}+2}}{4}\] \[\sqrt{6} +\sqrt{2}= 2\sqrt{\sqrt{3}+2}\]

Bon. Tout cela reste cependant bien peu spectaculaire. Voici un résultat différent qui, en général, ne manque pas d’impressionner les étudiants. Trouvons la valeur exacte de \(\cos(36^{\circ})\). Exit les triangles rectangles. Nous allons considérer le triangle isocèle suivantOn appelle ce triangle le triangle d’or. Si on trace la bissectrice d’un des angles de \(72^{\circ}\), on obtient un nouveau triangle isocèle semblable au premier (cas de similitude AA). On peut répéter le processus indéfiniment. Ceux qui connaissent le rectangle d’or y voient l’analogie.

Traçons, justement, une de ces bissectrices. On obtient

Le triangle \(ABD\) est semblable au triangle \(ABC\) par AA. Le triangle \(ABD\) est isocèle. Si \(\overline{AB}\) mesure \(y\), alors \(\overline{AD}\) aussi puisque ce sont les côtés isométriques du triangle isocèle. Mais il y a en un troisième, triangle isocèle, bien qu’il ne soit pas semblable aux deux autres. C’est le triangle \(ADC\) (observez la paire d’angles de \(36^{\circ}\)). On trouve ainsi que la mesure de \(\overline{DC}\) est aussi égale à \(y\). En posant la mesure de \(\overline{BD}\) égale à \(x\), on trouve que la mesure de \(\overline{BC}\) (et donc aussi de \(\overline{AC}\)) est égale à \(x+y\). On peut établir la proportion suivante en associant correctement les côtés homologues dans les deux triangles semblables \[\frac{m\overline{BD}}{m\overline{AB}} = \frac{m\overline{AB}}{m\overline{BC}}\] ou plus simplement \[\frac{x}{y} = \frac{y}{x+y}\]En effectuant le produit croisé, on obtient \[x^{2}+xy = y^{2}\]On divise ensuite chaque côté par \(x^{2}\) \[\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{xy}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}}\]ce qui fait \[1 + \frac{y}{x} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2}\]On obtient ainsi un polynôme du deuxième degré en \(\frac{y}{x}\) \[\left(\frac{y}{x}\right)^{2}-\frac{y}{x}-1=0\]Avec la formule quadratique, on trouve \[\frac{y}{x}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}\]Comme \(\frac{y}{x}\) est un rapport de mesures positives, on ne retient que la valeur positive pour \(\frac{y}{x}\) \[\frac{y}{x}=\frac{1+\sqrt{1+4}}{2}\]ce qui fait \[\frac{y}{x}= \frac{1+\sqrt{5}}{2}\]On reconnait d’ailleurs le nombre d’or. Pour des raisons à ce moment loin d’être apparentes, on fait deux choses : d’abord on inverse et puis on élève au carré. On obtient dans un premier temps \[\frac{x}{y} = \frac{2}{1+\sqrt{5}}\]En rationalisant le dénominateur on obtient \begin{align*}\frac{x}{y}&=\frac{2}{1+\sqrt{5}} \\ \\ &=\frac{2}{1+\sqrt{5}} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} \\ \\ &= \frac{2\left(1-\sqrt{5}\right)}{-4}\end{align*}ce qui fait en simplifiant le dénominateur \[\frac{x}{y} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\]Sitôt ce résultat obtenu, on élève au carré \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\]ce qui est équivalent à \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\frac{\left(-1+\sqrt{5}\right)^{2}}{2^{2}}\]En développant \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}= \frac{1-2\sqrt{5}+5}{4}\]et en regroupant les termes semblables \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}= \frac{6-2\sqrt{5}}{4}\]Finalement, en simplifiant la fraction, on obtient \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\]Considérons maintenant l’angle BAD de 36° dans le triangle BAD. En utilisant la loi des cosinus, on peut écrire \[x^{2}=y^{2}+y^{2}-2\cdot y\cdot y \cdot \cos(36^{\circ})\]En simplifiant le membre de droite on obtient \[x^{2}=2y^{2}-2y^{2}\cos(36^{\circ})\]On effectue d’abord la mise en évidence du carré de \(y\) à droite \[x^{2}=y^{2}\left(2-2\cos(36^{\circ})\right)\]puis on divise chaque côté par ce même carré de \(y^{2}\) \[\frac{x^{2}}{y^{2}}=2-2\cos(36^{\circ})\]Il nous suffit donc d’écrire \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=2-2\cos(36^{\circ})\]pour comprendre la peine qu’on s’était donnée pour trouver \[\left(\frac{x}{y}\right)^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\]On obtient donc \[\frac{3-\sqrt{5}}{2}=2-2\cos(36^{\circ})\]Il suffit maintenant d’isoler sans trop de mal le cosinus. On divise chaque côté par \(2\) \[\frac{3-\sqrt{5}}{4}=1-1\cos(36^{\circ})\]On soustrait ensuite \(1\) de chaque côté \[\frac{3-\sqrt{5}}{4}-1=-\cos(36^{\circ})\]ce qui fait \[\frac{3-\sqrt{5}}{4}-\frac{4}{4} = -\cos(36^{\circ})\]et donc en effectuant la soustraction \[\frac{-1-\sqrt{5}}{4} = -\cos(36^{\circ})\]On multiplie enfin chaque côté de l’égalité par \(-1\) \[\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\cos(36^{\circ})\]Voilà ! La valeur exacte du cosinus de \(36^{\circ}\).