Racine carrée de 2… en base 3

Lorsqu’on écrit un nombre en base 3 et qu’on l’élève au carré, le dernier chiffre non nul du carré sera nécessairement \(1\).

Dans ce qui suit, sauf indication contraire, tous les nombres sont exprimés en base ternaire.

Dans cette base, on sait que \[1 \times 1 = 1\]et que \[2 \times 2 = 11 \]Ainsi, que le nombre se termine par \(1\) ou \(2\), son carré lui, se terminera par \(1\). Si le nombre se termine par \(0\), on a quelque chose du genre \[abc\dots z0 = abc\dots z \times 10\] où \(z \neq 0\) (en base 3, cela signifie que \(z =1\) ou \(z=2\)).

Ici on note que \(abc\) ne représente pas le produit de \(a\), \(b\) et \(c\) mais bien le nombre \(^{\prime} abc ^{\prime}\), c’est-à-dire que \(abc = 100a + 10b + c\) en base 3 ou, si on préfère, \(abc = 9a + 3b + c\) en base 10.

\begin{align*}\left(abc\dots z0 \right)^2&= \left(abc \dots z \times 10\right)^{2} \\ \\ &= \left(abc \dots z\right)^2 \times 10^{2}\end{align*}Mais puisque \(z \neq 0\), le nombre \((abc \dots z)^{2}\) se termine par \(1\). On obtient, \begin{align*}\left(abc\dots z0 \right)^2  &= \left(abc \dots z\right)^{2}\times 10^{2} \\ \\ &= def \dots 1 \times 100 \\ \\ &=def\dots 100\end{align*}Le dernier chiffre non-nul du carré est \(1\). Le fait qu’il y ait plusieurs zéros à la fin du nombre ne change rien. On a  \begin{align*}\left(abc\dots z\underset{n \text{ fois}}{\underbrace{000 \dots 000}} \right)^2 &= \left(abc \dots z \times 10^{n}\right)^2 \\ &= \left(abc \dots z\right)^{2}\times \left(10^{n}\right)^{2} \\ \\ &= def \dots 1 \times 1\underset{2n \text{ fois}}{\underbrace{000 \dots 000}} \\ &=def\dots 1\underset{2n \text{ fois}}{\underbrace{000 \dots 000}}\end{align*}

En ternaire

Supposons que \(\sqrt{2}\) soit un nombre rationnel. Si \(\sqrt{2}\in \mathbb{Q}\), on peut exprimer \(\sqrt{2}\) comme une fraction d’entiers et on peut choisir ces entiers pour qu’ils soient premiers entre eux. On obtient la fraction irréductible \[\sqrt{2} = \frac{A}{B}\]

On élève au carré et on multiplie par \(B^2\) de chaque côté \begin{align*}\sqrt{2} &= \frac{A}{B} \\ \\ 2 &= \frac{A^2}{B^2} \\ \\ 2B^{2} &= A^2\end{align*}Le dernier chiffre non nul de \(A^{2}\) est \(1\). Le dernier chiffre non-nul de \(B^2\) est aussi \(1\), ce qui implique que celui de \(2B^{2}\) est \(2\). Mais si le dernier chiffre non-nul de \(A^{2}\) est \(1\) et celui de \(2B^{2}\) est \(2\), ces nombres ne peuvent être égaux ! Contradiction!  Ainsi, \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel. \[\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}\]

Référence : Polster, Burkard et Marty Ross, Putting Two and Two Together, Selections from the Mathologer Files, AMS, 2020

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